Xác định a, b, c biết parabol \(y=ax^2+bx+c\)
a. Đi qua 3 điểm \(A\left(0;-1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-1;1\right)\)
b. Có đỉnh \(I\left(1;4\right)\) và đi qua điểm \(D\left(3;0\right)\)
Xác định parabol (P) biết:
a)\(\left(P\right):y=ãx^2+bx+c\)đi qua các điểm A( 1; 1) , B( -1; -3) , O( 0; 0)
b) \(\left(P\right):y=x^2+bx+c\)đi điểm A( 1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng -1
Xác định parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B( - 1;0)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M(1;2)\) và nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng.
c) \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(I(1;4).\)
a) Theo giả thiết, hai điểm \(A(1;1)\) và \(B( - 1;0)\) thuộc parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + 3 = 1}\\{a - b + 3 = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{2}}\\{b = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là: \(y = - \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3.\)
b) Parabol nhận \(x = 1\) làm trục đối xứng nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,b = - 2a.\)
Điểm \(M(1;2)\) thuộc parabol nên \(a + b + 3 = 2\,\, \Leftrightarrow \,\,a + b = - 1.\)
Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2a}\\{a + b = - 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = - 2}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x + 3\)
c) Parabol có đỉnh \(I(1;4)\) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a + b + 3 = 4}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2a}\\{a + b = 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là: \(y = - {x^2} + 2x + 3.\)
Xác định parabol \(y=ax^2+bx+2\), biết rằng parabol đó :
a. Đi qua hai điểm \(M\left(1;5\right)\) và \(N\left(-2;8\right)\)
b. Đi qua điểm \(A\left(3;-4\right)\) và có trục đối xứng là \(x=-\dfrac{3}{2}\)
c. Có đỉnh là \(I\left(2;-2\right)\)
d. Đi qua điểm \(B\left(-1;6\right)\) và tung độ của đỉnh là \(-\dfrac{1}{4}\)
a) Vì parabol đi qua M(1; 5) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình của parabol: 5 = a.12 + b.1 + 2.
Tương tự, với N(- 2; 8) ta có: 8 = a.(- 2)2 + b.(- 2) + 2
Giải hệ phương trình: ta được a = 2, b = 1.
Parabol có phương trình là: y = 2x2 + x + 2.
b) Giải hệ phương trình:
Parabol: y = x2 - x + 2.
c) Giải hệ phương trình:
Parabol: y = x2 - 4x + 2.
d) Ta có:
Parabol: y = 16x2 + 12x + 2 hoặc y = x2 - 3x + 2.
Xác định a, b, c biết parabol \(y=ax^2+bx+c\) đi qua điểm \(A\left(8;0\right)\) và có đỉnh là \(I\left(6;-12\right)\)
Hàm số đi qua \(A\left(8;0\right)\) nên: \(a.8^2+8b+c=0\)\(\Leftrightarrow64a+8b+c=0\).
Hàm số có đỉnh là: \(I\left(6;-12\right)\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=6\\6^2.a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12a+b=0\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\).
Vậy ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-b=12a\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.\).
Vậy : \(y=-3x^2-36x+96\).
Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\)
b) Có đỉnh là \(I\left( { - 3; - 5} \right)\)
a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + 4 = 12\\a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 8\\9a - 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy parabol là \(y = 2{x^2} + 6x + 4\)
b) Hoành độ đỉnh của parabol là \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
Suy ra \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow b = 6a\) (1)
Thay tọa độ điểm I vào ta được:
\(\begin{array}{l} - 5 = a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4\\ \Leftrightarrow 9a - 3b = - 9\\ \Leftrightarrow 3a - b = - 3\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta được hệ
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - 6a = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy parabol là \(y = {x^2} + 6x + 4\).
Xác định hàm số bậc hai \(y=ax^2-4x+c\), biết rằng đồ thị của nó
a) Đi qua hai điểm \(A\left(1;-2\right);B\left(2;3\right)\)
b) Có đỉnh là \(I\left(-2;-1\right)\)
c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm \(P\left(-2;1\right)\)
d) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x=2\) và cắt trục hoành tại điểm \(M\left(3;0\right)\)
a)
y(1) =a-4+c=\(-2\)\(\Rightarrow\) a+c=2
y(2)=4a-8+c=3 \(\Rightarrow\)4a+c=3
Trừ cho nhau\(\Rightarrow\)3a=1 \(\Rightarrow\)a=\(\dfrac{1}{3}\)\(\Rightarrow\) \(c=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\).
Vậy: \(y=\dfrac{1}{3}x^2-4x+\dfrac{5}{3}\).
b)
I(-2;1)\(\Rightarrow\dfrac{4}{2a}=-2\)\(\Leftrightarrow a=-1\).
y(-2) \(=-4+8+c=1\)\(\Rightarrow\) \(c=-3\)
Vậy: \(y=-x^2-4x-3\).
c)\(\dfrac{4}{2a}=-3\)\(\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}\)
\(y\left(-2\right)=-\dfrac{2}{3}.4+8+c=1\)\(\Leftrightarrow c=-\dfrac{13}{3}\)
Vậy: \(y=-\dfrac{2}{3}x^3-4x-\dfrac{13}{3}\).
Xác định \(\left(P\right):y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)
biết P đi qua M(4;3), cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho diện tích tam giác INP = 1 với xp < 3. (Gọi I là đỉnh của parabol)Do (P) đi qua \(M\left(4;3\right)\Rightarrow16a+4b+c=3\)
Do (P) cắt Ox tại \(N\left(3;0\right)\Rightarrow9a+3b+c=0\)
\(\Rightarrow7a+b=3\Rightarrow b=3-7a\)
\(9a+3\left(3-7a\right)+c=0\Rightarrow c=12a-9\)
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và Ox: \(ax^2+bx+c=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left(3-7a\right)^2-4a\left(12a-9\right)=\left(a-3\right)^2\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_P< x_I< x_N< x_M\\y_N< y_M\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) hàm \(y=ax^2+bx+c\) đồng biến trên \(\left(-\frac{b}{2a};+\infty\right)\)
\(\Rightarrow a>0\)
\(\Rightarrow x_N=\frac{-b+\left|a-3\right|}{2a}=\frac{7a-3+\left|a-3\right|}{2a}=3\)
\(\Rightarrow\left|a-3\right|=3-a\Rightarrow0< a< 3\)
\(\Rightarrow S_{INP}=\frac{1}{2}\left(x_N-x_P\right).\left|\frac{-\Delta}{4a}\right|=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\Delta}}{a}.\frac{\Delta}{4a}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(3-a\right)\left(a-3\right)^2=8a^2\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2+27a-27=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+27\right)=0\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow b=-4\) ; \(c=3\)
\(\left(P\right):y=x^2-4x+3\)
Câu 1: Xác định đường thẳng đi qua 2 điểm A( 1, 3 ) và B( 3, -1 )
Câu 2: Xác định a, b qua đa thức:
\(f\left(x\right)=x^3-ax^2+bx-a\)
biết \(f\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\)và \(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)
Câu 2 : \(f\left(x\right)=x^3-ax^2+bx-a\)
Áp dụng định lý Bezout ta có:
\(f\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\)\(\Rightarrow f\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow1^3-a.1^2+b.1-a=1-a+b-a=0\)
\(\Leftrightarrow1-2a+b=0\)\(\Leftrightarrow2a-b=1\)(1)
\(\Rightarrow3\left(2a-b\right)=3\)\(\Rightarrow6a-3b=3\)(2)
\(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)\(\Rightarrow f\left(3\right)=0\)
\(\Rightarrow3^3-a.3^2+3b-a=27-9a+3b-a=0\)
\(\Leftrightarrow27-10a+3b=0\)\(\Leftrightarrow10a-3b=27\)(3)
Từ (2) và (3)
\(\Rightarrow\left(10a-3b\right)-\left(6a-3b\right)=27-3\)
\(\Leftrightarrow10a-3b-6a+3b=24\)
\(\Leftrightarrow4a=24\)\(\Leftrightarrow a=6\)
Thay \(a=6\)vào (1) ta có:
\(2.6-b=1\)\(\Leftrightarrow12-b=1\)\(\Leftrightarrow b=11\)
Vậy \(a=6\)và \(b=11\)
Xác định \(\left(P\right)\) : \(y=ax^2+bx+c\) biết đỉnh \(I\left(-1;5\right)\) và \(\left(P\right)\) đi qua \(A\left(1;1\right)\)
Lời giải:
Để ĐTHS có đỉnh $I$ thì $a< 0$
Tọa độ đỉnh $I$:
\(x_I=\frac{-b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a(1)\)
Điểm $I$ thuộc ĐTHS $y$ nên:
\(y_I=y(x_I)\Leftrightarrow 5=a(-1)^2+b(-1)+c\Leftrightarrow 5=a-b+c(2)\)
ĐTHS đi qua điểm $A(1;1)$
$\Leftrightarrow y_A=y(x_A)$
$\Leftrightarrow 1=a.1^2+b.1+c=a+b+c(3)$
Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow a=-1; b=-2; c=4$
Lời giải:
Để ĐTHS có đỉnh $I$ thì $a< 0$
Tọa độ đỉnh $I$:
\(x_I=\frac{-b}{2a}=-1\Rightarrow b=2a(1)\)
Điểm $I$ thuộc ĐTHS $y$ nên:
\(y_I=y(x_I)\Leftrightarrow 5=a(-1)^2+b(-1)+c\Leftrightarrow 5=a-b+c(2)\)
ĐTHS đi qua điểm $A(1;1)$
$\Leftrightarrow y_A=y(x_A)$
$\Leftrightarrow 1=a.1^2+b.1+c=a+b+c(3)$
Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow a=-1; b=-2; c=4$